单元 03：从价格计算收益

上一单元得到了一列顺序正确、通过质量检查的收盘价。但“价格从 100.80 变成 105.50”还不能直接回答：这段时间赚了百分之多少？每天的涨跌如何连接成完整结果？

本单元将价格转换为收益率，再把每日收益复合成一条净值曲线。过程中我们会用一个三点价格序列手工验算，并用首尾价格再次复核程序结果。

本单元目标

完成本单元后，你将能够：

计算并解释简单收益率（Simple Return）的方向和日期归属；
说明为什么第一条价格没有对应收益率；
使用连乘计算累计收益率（Cumulative Return）和净值曲线；
区分简单收益率与对数收益率（Log Return）；
区分算术平均收益与几何平均收益；
用手工小样本和首尾价格验证计算结果；
解释价格口径、分红和交易日数量如何影响收益。

最终产物由下面的命令生成：

bash

uv run python examples/unit03/calculate_returns.py

前置条件

已完成单元 02；
能解释 symbol、date 和 close；
已执行 uv sync --locked；
后续命令均在项目根目录运行。

场景：价格变化不等于收益表达

假设某资产的价格从 100 元上涨到 110 元，变化了 10 元；另一个资产从 10 元上涨到 11 元，只变化了 1 元。虽然价格变化额不同，两者都上涨了 10%。

价格带有单位，例如 CNY/份；收益率是相对变化，没有价格单位。把价格转换为收益率后，才更适合比较不同价格水平的资产与不同时间段。

text

收盘价 P(t-1)、P(t)
          ↓ 相邻价格相比
单期收益 R(t)
          ↓ 按时间连乘
累计收益 C(t) 与净值 W(t)

先确认价格口径

本单元的 DEMO_ETF 是合成数据，没有分红和复权含义。真实资产发生现金分红、拆分或合并时，直接使用未复权收盘价可能把公司行动误当成涨跌。

研究价格表现还是包含现金分配的总回报，决定了应该使用哪种价格或收益口径。接入真实数据时，要先阅读供应商对复权因子、分红再投资和费用的定义。

理解一段收益属于哪一天

设：

$P_{t}$ ：交易日 $t$ 的收盘价，单位为 CNY/份；
$P_{t - 1}$ ：上一个交易日的收盘价，单位相同；
$R_{t}$ ：从 $t - 1$ 日收盘到 $t$ 日收盘的简单收益率，没有单位。

简单收益率的公式是：

R_{t} = \frac{P_{t}}{P_{t - 1}} - 1

样例中 2024-01-02 的收盘价为 100.80，2024-01-03 为 101.70，因此：

R_{2024 - 01 - 03} = \frac{101.70}{100.80} - 1 \approx 0.008929 = 0.8929 %

这条收益记录在 2024-01-03，表示“从上一交易日收盘到今天收盘”的变化。它不是只发生在收盘那一刻，也不是 2024-01-04 的收益。

收益需要两个价格

第一行只有 $P_{t}$ ，没有数据区间内的 $P_{t - 1}$ ，所以无法计算第一条收益。程序应该保留缺失值 NaN，而不是填成 0。

填 0 表示“已经确认这段收益为零”，与“没有足够信息计算”不是一回事。净值起点可以单独设为 1，不需要篡改第一条收益。

把多日收益连接起来

前面算出了一天的收益。观察多天时，不能把每日收益直接相加，因为每一天的涨跌都以当时的价格为基数。

例如，价格依次为 100 → 110 → 99：

区间	价格变化	简单收益
第 1 日	100 → 110	+10%
第 2 日	110 → 99	-10%

第二日下跌的 10% 以 110 为基数，减少的是 11，而不是 10。因此这两日的总收益不是 +10% - 10% = 0%，而是：

(1 + 10 %) \times (1 - 10 %) - 1 = - 1 %

这里的 1 + 10% 表示价格变为上一日的 1.10 倍，1 - 10% 表示随后变为上一日的 0.90 倍。前一期的结果成为下一期计算涨跌的基数，这种逐期连接方式就是复利（Compounding）。在收益序列中，复利意味着连乘，不是把百分比相加。

“复利”在这里描述的是价值如何跨期变化，并不表示资产额外支付了银行利息。上涨和下跌都遵循相同的计算方式。

为什么亏损后需要更大的涨幅才能回本？

价格从 100 下跌 50% 后只剩 50。要从 50 回到 100，需要上涨 50，也就是以 50 为基数上涨 100%。

亏损幅度	回到起点所需涨幅
-10%	+11.11%
-20%	+25.00%
-50%	+100.00%

收益率的分母随价格变化，因此涨跌百分比不是对称的。

用 pandas 计算单期收益

打开 examples/unit03/calculate_returns.py。读取函数只保留本单元需要的证券代码、日期和收盘价，并检查：

数据不为空；
必要值没有缺失；
每次只处理一个标的；
日期没有重复；
收盘价大于 0；
计算前按日期升序排列。

核心计算先取得上一交易日的收盘价：

python

previous_close = result["close"].shift(1)
price_ratio = result["close"] / previous_close
result["simple_return"] = price_ratio - 1

shift(1) 把价格向下移动一行，让当前行的 close 与上一行的 close 对齐。它表达的是“上一条已排序记录”，所以单元 02 的日期排序和重复检查是收益计算的前提。

也可以使用 pandas 的 pct_change() 完成同样的计算：

python

result["simple_return"] = result["close"].pct_change(fill_method=None)

这里明确使用 fill_method=None，避免在价格缺失时悄悄沿用旧价格。示例程序展开公式，是为了让分子、分母和时间方向更容易检查。

从每日收益得到净值

刚才的价格为 100 → 110 → 99。如果把每个价格都除以起点 100，就会得到：

text

1.00 → 1.10 → 0.99

这只是换了一把尺子：1.10 表示资金是起点的 1.10 倍，0.99 表示资金是起点的 0.99 倍。把起点统一设为 1 后形成的序列，就是净值曲线（Wealth Index / Equity Curve）。它方便比较初始价格或初始资金不同的对象。

本单元把初始净值设为 1：

W_{0} = 1

之后每一期：

W_{t} = W_{t - 1} (1 + R_{t})

把全部收益展开，就是：

W_{t} = \prod_{i = 1}^{t} (1 + R_{i})

其中：

$W_{t}$ ：截至交易日 $t$ 的净值，没有单位；
$R_{i}$ ：第 $i$ 个收益区间的简单收益率；
$\prod$ ：将每个 $(1 + R_{i})$ 连乘。

代码使用 cumprod() 做逐行累计乘法：

python

result["wealth_index"] = (
    1 + result["simple_return"].fillna(0)
).cumprod()
result["cumulative_return"] = result["wealth_index"] - 1

这里仅在构造净值时把第一行缺失收益当作净值起点，原始 simple_return 仍然保留 NaN。

若初始资金是 10,000 元，在暂不考虑交易成本、税费和现金分红的教学假设下，某日账户的理论价值可以写成：

V_{t} = 10,000 \times W_{t}

但净值 1.046627 不代表赚了 1.046627 元，也不代表价格是 1.046627 元；它表示初始资金增长到了原来的 1.046627 倍。

用首尾价格复核累计收益

如果中间没有现金流，逐日收益连乘应该与首尾价格之比完全一致：

\prod_{i = 1}^{t} (1 + R_{i}) = \frac{P_{t}}{P_{0}}

本单元首日和末日收盘价分别为 100.80 和 105.50：

\frac{105.50}{100.80} - 1 \approx 4.6627 %

程序中的 summarize_returns() 会将它与净值曲线末端的累计收益比较。如果两者不一致，说明日期顺序、收益公式或累计方法至少有一处错误。

验证公式不能验证输入数据

首尾价格复核能够发现计算链路中的不一致，但不能证明价格本身正确，也不能证明复权和分红口径符合研究问题。计算验证与数据质量审计解决的是不同问题。

认识对数收益率

对数收益率（Log Return）定义为：

r_{t} = \ln (\frac{P_{t}}{P_{t - 1}}) = \ln (1 + R_{t})

其中 $r_{t}$ 是对数收益率， $\ln$ 是自然对数。由于要计算对数，输入价格必须大于 0。

代码为：

python

result["log_return"] = price_ratio.map(math.log)

对数收益最重要的性质是可以跨时间相加：

\sum_{i = 1}^{t} r_{i} = \ln (\frac{P_{t}}{P_{0}})

把累计对数收益转回普通累计收益，需要：

\exp (\sum_{i = 1}^{t} r_{i}) - 1

简单收益与对数收益在涨跌较小时数值接近，但并不相等。简单收益更容易解释为账户某期的百分比变化；对数收益便于跨时间相加，也常用于统计建模。本教程后续回测净值时会继续使用简单收益和连乘。

不要把对数收益直接当百分比盈亏

累计对数收益为 10% 时，普通累计收益是 $e^{0.1} - 1$ ，约为 10.52%，不是 10%。报告收益时必须说明口径。

区分算术平均与几何平均

日简单收益的算术平均是：

{\bar{R}}_{a r i t h} = \frac{1}{n} \sum_{i = 1}^{n} R_{i}

它回答“这些单期收益的平均值是多少”。几何平均收益是：

{\bar{R}}_{g e o} = {[\prod_{i = 1}^{n} (1 + R_{i})]}^{1 / n} - 1

它回答“如果每期都以同一个复合增长率变化，什么增长率能到达相同终值”。其中 $n$ 是收益区间数，不是价格行数。

本样例有 10 个价格，但只有 9 个收益区间：

指标	结果
日简单收益算术平均	0.5105%
日复合收益几何平均	0.5076%

波动存在时，几何平均通常不高于算术平均。不能用“日收益算术平均 × 天数”替代真实累计收益；累计结果应通过连乘得到。

关于年化与“252 个交易日”

将日频结果年化时，经常假设一年有 252 个交易日。例如把已实现的区间复合增长率按相同速度延伸，可以写成：

R_{a n n u a l i z e d} = (1 + R_{t o t a l})^{N / n} - 1

其中 $R_{t o t a l}$ 是样本累计收益， $n$ 是样本收益区间数， $N$ 是假设的一年交易期数。

但 252 只是某些市场日频研究中的常用近似，不是永远成立的常数。市场、年份、停牌规则和数据频率都会改变期数。本样例只有 9 个收益区间，把它年化会放大短期偶然波动，因此本单元不把年化结果当作有意义的绩效结论。

运行完整分析

执行：

bash

uv run python examples/unit03/calculate_returns.py

输出表格的前几行应为：

text

      date  close simple_return wealth_index
2024-01-02  100.8            --     1.000000
2024-01-03  101.7       0.8929%     1.008929
2024-01-04  101.2      -0.4916%     1.003968
2024-01-05  102.4       1.1858%     1.015873

汇总结果应为：

text

价格观测: 10 个
收益区间: 9 个
累计收益: 4.6627%
日简单收益算术平均: 0.5105%
日复合收益几何平均: 0.5076%
收益明细: outputs/unit03/returns.csv
分析图表: outputs/unit03/returns_and_wealth.png

returns.csv 包含以下列：

字段	含义
`symbol`	证券标识
`date`	当前收益区间的结束交易日
`close`	当日收盘价，CNY/份
`simple_return`	从上一交易日收盘到当日收盘的简单收益率
`log_return`	同一区间的对数收益率
`wealth_index`	初始值为 1 的累计净值
`cumulative_return`	从起点到当日的累计简单收益

打开 outputs/unit03/returns_and_wealth.png，图中依次展示收盘价、每日简单收益和净值。

价格曲线有 CNY/份的单位，起点是 100.80；
收益率围绕 0 波动，每根柱子描述一个相邻交易日区间；
净值曲线起点为 1，展示一单位初始资金的相对变化。

本样例只使用收盘价变化，没有加入交易成本、税费、现金流和仓位变化。因此这条净值是资产价格收益的净值，不是完整交易策略的账户净值。

常见陷阱

日期没排序就计算

shift(1) 只认识上一行，不理解哪一天更早。日期乱序会把不相邻的交易日连接起来，计算仍能运行，但含义已经错误。

把第一条收益填成 0

第一条收益缺少前置价格，应该是未知。净值需要一个起点时单独设为 1，不要改变原始收益序列的含义。

把每日收益直接相加

简单收益跨时间应连乘。直接求和忽略了每期本金变化，在波动较大或时间较长时误差会明显增加。

混用未复权价与复权价

不同价格口径计算出的收益代表不同问题。尤其在分红和拆分附近，混用口径会制造虚假跳变。

把净值当成真实账户余额

本单元净值没有资金单位，也没有仓位、成交、费用和现金流。只有在明确初始资金和交易假设后，才能转换为模拟账户价值。

用极短样本推断长期表现

9 个日收益足够验证程序，不足以证明资产的长期收益特征，更不能据此承诺未来表现。

验证结果

完成标准：

第一条简单收益和对数收益保持缺失，净值从 1 开始；
2024-01-03 的简单收益为 0.8929%；
10 个价格对应 9 个收益区间；
每日简单收益连乘后的累计收益为 4.6627%；
末端净值 1.046627 与 105.50 / 100.80 一致；
能解释为什么“先涨 10%、再跌 10%”的结果是亏损 1%；
能说明简单收益与对数收益如何跨时间累计。

小结

本单元完成了第一条收益计算链路：

text

已检查且按日期排序的收盘价
            ↓
相邻价格之比 - 1
            ↓
简单收益率 + 对数收益率
            ↓
简单收益连乘
            ↓
累计收益 + 初始值为 1 的净值
            ↓
手工样本 + 首尾价格双重复核

下一单元将在这条可靠的价格与收益序列上计算移动平均线，开始区分指标、信号和持仓。

练习

基础练习：手工验证两段收益

使用价格 100 → 120 → 90，先在纸上计算：

两段简单收益率；
最终累计收益；
末端净值；
两段对数收益之和，以及转回普通累计收益后的结果。

再把这三个价格传给 calculate_returns()，比较程序输出。

进阶练习：观察波动对几何平均的影响

构造两组日收益：

A：每天都是 1%；
B：一天 11%，另一天 -9%。

两组收益的算术平均相同。分别计算两期后的净值和几何平均，解释为什么终值不同。

延伸练习：核实真实数据的收益口径

选择一个真实数据供应商，只阅读文档，不必下载数据。记录其普通收盘价和复权收盘价的定义，并回答：

现金分红如何体现在复权价格中？
拆分发生时历史价格如何调整？
复权因子是否会因后续公司行动而变化？
用该字段计算的是价格收益还是包含分红再投资的总回报？

无法从文档确认的内容应明确标记为未知，不要自行补充假设。

单元 03：从价格计算收益 ​

本单元目标 ​

前置条件 ​

场景：价格变化不等于收益表达 ​

理解一段收益属于哪一天 ​

把多日收益连接起来 ​

用 pandas 计算单期收益 ​

从每日收益得到净值 ​

用首尾价格复核累计收益 ​

认识对数收益率 ​

区分算术平均与几何平均 ​

运行完整分析 ​

常见陷阱 ​

日期没排序就计算 ​

把第一条收益填成 0 ​

把每日收益直接相加 ​

混用未复权价与复权价 ​

把净值当成真实账户余额 ​

用极短样本推断长期表现 ​

验证结果 ​

小结 ​

练习 ​

基础练习：手工验证两段收益 ​

进阶练习：观察波动对几何平均的影响 ​

延伸练习：核实真实数据的收益口径 ​

单元 03：从价格计算收益

本单元目标

前置条件

场景：价格变化不等于收益表达

理解一段收益属于哪一天

把多日收益连接起来

用 pandas 计算单期收益

从每日收益得到净值

用首尾价格复核累计收益

认识对数收益率

区分算术平均与几何平均

运行完整分析

常见陷阱

日期没排序就计算

把第一条收益填成 0

把每日收益直接相加

混用未复权价与复权价

把净值当成真实账户余额

用极短样本推断长期表现

验证结果

小结

练习

基础练习：手工验证两段收益

进阶练习：观察波动对几何平均的影响

延伸练习：核实真实数据的收益口径